La moyenne d'une série statistique
Définition et interprétation
Définition : La moyenne
Soit la série statistique[1]
. Sa moyenne[2] est donnée par
Exemple :
La série statistique
(
) a pour moyenne
.
Complément : Interprétation de la moyenne
est une valeur centrale.
Ex. : Supposons que nous ayions
personnes détenant chacune une certaine somme d'argent. Si
est le montant (en euros) détenu par l'individu
alors
est le montant total détenu par les
personnes et
est le montant que recevrait chacun des
individus s'ils partageaient équitablement entre eux ce montant total.
Ex. : Supposons qu'un étudiant ait présenté
examens. Désignons par
le résultat (sur 20) qu'il a obtenu au
e examen
Dans ce cas,
est la somme des points obtenus et le résultat moyen
correspond au résultat qu'aurait obtenu l'étudiant à chaque cours s'il avait fait preuve de la même performance ou force à chaque examen.
Quelques remarques sur la moyenne
Remarque :
Dans la somme qui définit
, chaque observation intervient avec le même poids
Remarque :
est la moyenne arithmétique de la série statistique
. Il existe d'autres types de moyennes : la moyenne harmonique, la moyenne géométrique, etc., que l'on n'étudiera pas dans le cadre de ce cours.
Remarque :
n'a de sens que si la variable observée est quantitative et mesurée sur une échelle d'intervalles ou de rapports.
Remarque :
Contrairement au mode,
existe toujours et est unique.
Remarque :
est rarement une valeur observée, ce qui donne à
un statut différent des observations
Ainsi, dans un groupe d'individus, il n'existe pas nécessairement une personne dont la taille est égale à la taille moyenne des éléments du groupe. Cet individu « moyen » est un être généralement fictif, dont la seule raison d'être est de représenter un centre, un milieu. C'est ce principe qui a permis d'introduire, en physique, le centre de gravité.
Complément : Interprétation de la moyenne comme centre de gravité
Supposons qu'on ait relevé 200 tailles et qu'on les ait représentées par 200 points sur l'axe des abscisses. Si l'on affecte mentalement à chacun de ces points la même masse et si l'on imagine l'axe des abscisses comme une baguette supportant l'ensemble de ces masses, on peut essayer de trouver le point d'équilibre de cette baguette. Ce point d'équilibre, appelé centre de gravité, est donné en physique par la même formule que celle de la moyenne arithmétique.
Remarque :
est fort sensible à la présence de valeurs extrêmes (valeurs aberrantes), c'est-à-dire de valeurs nettement plus grandes ou nettement plus petites que les autres observations de la série.
Exemple :
: la moyenne est bien une valeur centrale.
: la moyenne n'est plus du tout une valeur centrale puisqu'elle est supérieure à toutes les observations, sauf la dernière.
Une valeur extrême (ou aberrante) « attire à elle » la moyenne. Ceci a pour conséquence que la moyenne ne correspond plus alors à une valeur centrale de la série.
Propriétés de la moyenne
Complément : Somme des observations
La somme de toutes les observations d'une série statistique de taille
est égale à
fois leur moyenne arithmétique.
Complément : Valeurs centrées des observations
Considérons les écarts entre les observations
et leur moyenne
:
On a
ll en découle que
.
Les écarts
(
) correspondent à ce que l'on appelle les valeurs centrées des observations. L'appellation « valeurs centrées » vient du fait que leur moyenne est nulle.
Exemple :
Complément : Moyenne d'une série agrégée
Exemple :
1er groupe : constitué de
étudiants ; ils ont obtenu les notes 15, 12, 09, 17 et 14 ; la moyenne de ce premier groupe est donc égale à
.
2e groupe : constitué de
étudiants ; ils ont obtenu les notes 13, 07, 15, 16, 10 et 12 ; la moyenne de ce second groupe est donc égale à
.
Quelle est la moyenne de l'ensemble des étudiants (
)?
En conclusion :
1re série : taille
et moyenne
2e série : taille
et moyenne
série agrégée : taille
et moyenne
Cas particulier :
1re série : taille
et moyenne
2e série : taille
et moyenne
(unique observation supplémentaire)
série agrégée : taille
et moyenne
Remarque :
Cette dernière propriété peut aisément être généralisée au cas de l'agrégation de plusieurs séries statistiques.
