D'autres valeurs centrales... moins courantes
La moyenne tronquée
On a vu que la moyenne arithmétique
était influencée par la présence de valeurs extrêmes. Une manière d'éviter cet inconvénient consiste à éliminer ces dernières ou, tout au moins, à ne pas tenir compte des premières et dernières valeurs de la série statistique ordonnée. Il en est ainsi pour la
moyenne tronquée[1]
(
) qui ne porte que sur les observations
et qui ne tient donc pas compte de la plus petite observation
ni de la plus grande
.
Définition :
La moyenne pondérée
L'objectif est ici d'attribuer aux différentes observations une importance qui n'est pas la même pour toutes.
Définition :
On attribue à chaque observation
(
) un coefficient de pondération
– encore appelé plus simplement un poids – correspondant à l'importance relative que l'on veut donner à cette observation ; les poids
doivent être tels que
La moyenne pondérée[2] des observations est alors définie par l'expression
Remarque :
Si tous les poids
sont égaux entre eux (et donc égaux à
), on retrouve la moyenne
arithmétique simple
.
Exemple : Résultats / étudiants (suite)
Reprenons le tableau des résultats (sur 100) de nos 10 étudiants (
) pour les 7 cours (
) :
Attribuons aux cours
une importance proportionnelle au nombre de crédits ECTS qui leur sont attachés. Supposons que, pour un total de 30 crédits, on ait 4 cours à 3 crédits (
,
,
et
) et 3 cours à 6 crédits (
,
et
). Dans ce cas, pour calculer la moyenne pondérée d'un étudiant, les résultats qu'il a obtenus aux cours
,
,
et
se voient chacun affectés d'un poids égal à
et ceux qu'il a obtenus aux cours
,
et
ont chacun un poids égal à
:
,
,
.
Le tableau ci-dessous présente, pour chacun des 10 étudiants, sa moyenne simple (moyenne arithmétique
) et sa moyenne pondérée (
) :
Pour l'étudiant n°1, par exemple :
On constate que la pondération a pour effet de faire diminuer la moyenne de la plupart des étudiants (tous, sauf
,
et
). Cela résulte d'un accroissement de l'importance des cours
et
dont les résultats sont faibles et d'une diminution parallèle de l'importance des cours
,
,
et
dont les notes sont meilleures.
Seuls les trois derniers étudiants échappent à la règle car ils sont bons dans certains cours sur-pondérés (
et
) ou mauvais dans des cours sous-pondérés
Autres valeurs centrales
Il existe des mesures de la tendance centrale qui ne prennent en compte que certaines valeurs particulières de la série observée. C'est le cas, par exemple, de
,
,
.
est simplement la moyenne arithmétique de la plus petite observation (
) et de la plus grande observation (
) ;
est la moyenne arithmétique du 1er et du 3e quartiles ;
est une moyenne pondérée des trois quartiles dans laquelle la médiane (le 2e quartile) a un poids deux fois plus élevé que le 1er et le 3e quartiles.
