Représentations graphiques d'une D.G.1
Histogramme des effectifs
Méthode :
L'histogramme des effectifs est obtenu en associant à chaque classe
un rectangle dont la surface est égale à l'effectif
Puisque la base du rectangle associé à la classe
est égale à la longueur
de cette classe et que sa surface doit être égale à l'effectif
, il faut que la hauteur du rectangle soit égale à
Cette dernière quantité correspond à l'effectif unitaire de la classe
(l'effectif de la classe par unité de longueur).
Exemple : Tailles (suite)
L'histogramme des effectifs représentant la D.G.1 que nous avons construite, est présenté ci-dessous.
Puisque les 5 classes ont toutes 10 cm de longueur, les effectifs unitaires sont simplement égaux aux effectifs divisés par 10. Ainsi, par exemple, la classe
possède un effectif de 14 et donc un effectif unitaire de 14/10=1.4 ; 14 tailles observées se trouvent dans la classe
de longueur égale à 10 cm, ce qui signifie que la « densité » d'observations dans cette classe est de 1.4 observations par cm.
Attention :
L'histogramme des effectifs n'est pas équivalent à la construction dans laquelle les hauteurs des rectangles seraient tout simplement égales aux effectifs des classes (et non pas aux effectifs unitaires), sauf évidemment quand toutes les classes sont de même longueur.
Exemple : Tailles (suite)
Reprenons la D.G.1 des tailles et construisons le graphique dans lequel les rectangles associés aux classes sont de hauteurs égales aux effectifs.
Cette dernière figure a exactement la même allure que l'histogramme des effectifs. Puisque les 5 classes de la D.G.1 des tailles ont toutes la même longueur (10 cm), il suffit de changer l'unité sur l'axe des ordonnées pour passer d'une représentation graphique à l'autre.
Supposons à présent que l'on décide de regrouper les deux premières classes de la D.G.1 des tailles. Nous nous retrouvons alors avec une nouvelle distribution groupée ne comptant plus que 4 classes, avec la première classe deux fois plus longue que les trois autres.
Présentons ci-dessous les deux graphiques que l'on obtient selon que l'on prend les hauteurs des rectangles égales aux effectifs unitaires (graphique de gauche) ou aux effectifs (graphique de droite) des classes. On constate aisément que le graphique de droite surévalue l'importance de la nouvelle première classe.
Seul le graphique de gauche (l'histogramme des effectifs) est correct. On y a tenu compte du fait que les classes n'étaient pas toutes de la même longueur. Il est vrai, par exemple, que la nouvelle première classe
a un effectif (égal à 46) pratiquement égal à celui de la troisième classes
(effectif de 47) ; mais la « densité d'observations » n'est pas la même dans les deux classes : elle n'est que de 46/20=2.3 observations par cm dans la première classe, alors qu'elle s'élève à 47/10=4.7 observations par cm dans la troisième classe. Il est donc capital, pour chaque classe, de considérer non seulement son effectif, mais aussi sa longueur, ce que nous pouvons faire au travers de son effectif unitaire.
Remarque :
L'histogramme des effectifs se caractérise par le fait que la surface totale des rectangles qui le composent est égale à l'effectif total
puisque
Histogramme des fréquences
Méthode :
L'histogramme des fréquences est obtenu en associant à chaque classe
un rectangle dont la surface est égale à la fréquence
Ceci revient à associer à chaque classe
un rectangle dont la hauteur est égale à la fréquence unitaire
(la fréquence de la classe par unité de longueur).
Remarque :
L'histogramme des fréquences est parfaitement équivalent à l'histogramme des effectifs, à un changement d'unité près sur l'axe des ordonnées (on passe du premier au second en multipliant par
l'unité choisie sur l'axe des ordonnées).
Remarque :
L'histogramme des fréquences se caractérise par le fait que la surface totale des rectangles qui le composent est égale à
puisque
Nous évoquerons à nouveau cette caractéristique de l'histogramme des fréquences lorsque nous introduirons le concept de fonction de densité d'une variable aléatoire continue.
