Courbes cumulatives
Il est possible de représenter graphiquement la distribution des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées : cette représentation graphique porte le nom de courbe cumulative (des effectifs ou des fréquences).
Comme nous allons le voir ci-dessous, la courbe cumulative diffère selon que l'on travaille avec une D.O.1 ou avec une D.G.1.
Pour une D.O.1
Méthode :
Lorsque la variable étudiée est quantitative, les courbes cumulatives des effectifs et des fréquences se présentent comme suit :
Exemple : Personnes à charge (suite)
Reprenons la distribution des nombres de personnes à charge observés dans les dossiers étudiés par l'assistant social.
La courbe cumulative des fréquences associée à cette D.O.1 est présentée ci-dessous.
Complément :
Lorsque la variable étudiée est ordinale, la représentation de la distribution des effectifs ou des fréquences cumulé(e)s à l'aide de la courbe cumulative n'a plus de raison d'être puisque les modalités que l'on devrait placer en abscisse ne sont pas des nombres réels. On peut cependant introduire un diagramme en blocs que nous évoquerons à partir de l'exemple ci-après.
Exemple : Avis pédagogiques (suite)
Reprenons la D.O.1 des avis pédagogiques, complétée avec les effectifs cumulés et les fréquences cumulées.
Intéressons-nous par exemple aux fréquences. Le diagramme en barres, présenté dans la partie gauche de la figure ci-dessous, permet de visualiser la distribution des fréquences. La partie droite de cette figure nous montre elle aussi, via la hauteur de chaque bloc, la part (fréquence) que représente chaque modalité dans l'ensemble des 20 réponses ; mais elle fait également apparaître les fréquences cumulées par l'intermédiaire de la hauteur cumulée des blocs.
Remarque :
Insistons encore une fois sur le fait que les concepts cumulés n'ont pas de sens dans le cas d'une variable nominale. Nous pouvons toutefois construire un diagramme en blocs comme dans l'exemple ci-dessus, mais l'ordre des rectangles superposés est alors arbitraire. Dans certains cas, on préconise de placer dans le bas de ce graphique les modalités les plus fréquentes.
Exemple : Femmes (suite)
Reprenons la distribution des états civils observés chez les
femmes qui ont participé à l'enquête.
Nous pouvons représenter la D.O.1 des fréquences par le diagramme en barres (comme nous l'avons fait précédemment), mais aussi par le diagramme en blocs ci-dessous.
Pour une D.G.1
Méthode :
Lorsque l'on travaille avec une distribution groupée, les courbes cumulatives des effectifs et des fréquences se présentent comme suit :
Exemple : Tailles (suite)
Reprenons la distribution groupée des tailles des 175 étudiants.
La courbe cumulative des fréquences est représentée ci-dessous.
Complément :
La courbe cumulative des effectifs peut être vue comme le graphe d'une fonction – appelée fonction cumulative des effectifs et désignée par
– définie sur
et à valeurs dans l'intervalle
:
Si on fait l'hypothèse que les observations sont réparties uniformément au sein de chaque classe,
fournit une approximation du nombre d'observations dans la série statistique initiale qui sont inférieures ou égales à
De manière analogue, la courbe cumulative des fréquences peut être considérée comme le graphe d'une fonction – appelée fonction cumulative des fréquences et désignée par
– définie sur
et à valeurs dans l'intervalle
:
Si on fait l'hypothèse que les observations sont réparties uniformément au sein de chaque classe,
fournit une approximation de la proportion d'observations dans la série statistique initiale qui sont inférieures ou égales à
Nous reparlerons de cette fonction cumulative des fréquences plus loin dans le cours, lorsque nous étudierons les variables aléatoires continues et que nous caractériserons leur comportement (aléatoire) à l'aide de leur « fonction de répartition ».
