L'écart moyen absolu et l'écart médian absolu
Notre objectif est à présent de mesurer la dispersion d'une série statistique
autour d'une valeur centrale (
ou
) ;en utilisant toutes les observations de la série.
Méthode : Idée de base
Considérons une valeur centrale : par exemple, la moyenne
. La dispersion de la série statistique autour de
est liée à l'amplitude des écarts des observations à cette valeur centrale :
dans la figure de gauche, les observations sont peu dispersées (fort concentrées) autour de
; cela se traduit par des écarts
de faibles amplitudes ;dans la figure de droite, les observations sont fort dispersées autour de
; il existe des écarts
qui ont une grande amplitude.
On voit donc qu'il est naturel de mesurer la dispersion d'une série statistique à partir des écarts
(
). Mais comment les prendre en compte ?
La première idée qui vient à l'esprit consiste à considérer la moyenne de tous ces écarts . Mais cette idée ne mène à rien puisque cette moyenne est toujours nulle (cf. valeurs centrées des observations) !
Il convient plutôt de considérer les amplitudes des écarts, c'est-à-dire de considérer les écarts
sans leur signe – ce qui nous intéresse est de quantifier dans quelle mesure
est éloigné ou, au contraire, proche de
, et non de mettre en évidence le fait que
est plus petit ou, au contraire, plus grand que
–, ce qui peut se faire aisément en utilisant la valeur absolue des écarts
, notée
(
). Ceci conduit à la définition de l'écart moyen absolu (
) ou, si l'on considère comme valeur centrale la médiane
à la place de la moyenne
, à la définition de l'écart médian absolu (
).
Définition :
L'
écart moyen absolu[1]
, noté
, se définit comme étant égal à la moyenne des valeurs absolues des différences entre les observations et leur moyenne
:
L'
écart médian absolu[2]
, noté
, se définit comme étant égal à la moyenne des valeurs absolues des différences entre les observations et leur médiane
:
Remarque :
L'interprétation de
(respectivement
) est simple. Ce paramètre nous indique que les observations se situent, en moyenne, à
(respectivement
) unités de leur valeur centrale
(respectivement
).
Exemple :
Considérons la série statistique
(
) ayant pour valeurs centrales
et
. Construisons le tableau suivant contenant les valeurs absolues
et
, ainsi que leurs sommes :
Il s'ensuit que
et
.
Les observations de la série se trouvent donc, en moyenne, à 4.44 unités de leur moyenne
et à 4.22 unités de leur médiane
.
